„Ezenközben én is egy új planétát indítottam el a Földre, de sem középpontját, sem pályáját meghatározni nem tudom; Isten szép fiúgyermekkel ajándékozott meg... a kezdetet s a véget kapcsolhatná össze, hidat verve az iszonyú mélység fölött...” (Bolyai Farkas levele Gausshoz)
Bolyai János a matematikatörténet egyik legnagyobb alakja. Nevéhez korszakalkotó felfedezés fűződik: a nem-euklideszi geometria megteremtése forradalmat jelentett a geometria és az elméleti fizika terén, megdöntötte a newtoni világszemléletet.
Kolozsváron született 1802 december 15-én. Gyermekkorát Marosvásárhelyen töltötte, a református kollégium diákja volt. Már gyermekként élénken érdeklődött a matematika iránt, tehetsége korán megmutatkozott. A család anyagi lehetőségei nem tették lehetővé göttingeni továbbtanulását, ezért a bécsi hadmérnöki akadémiára került. A hibás pályaválasztás megnehezítette életét. Néhány évig műszaki tisztként Temesváron, Aradon és Olmützben teljesített szolgálatot, majd harmincéves korában nyugdíjaztatta magát és hazatért Marosvásárhelyre.
Bolyai Jánost fiatalkorától foglalkoztatták a matematika megoldatlan kérdései, ezek közül is leginkább Eukleidész XI. axiómájának, a párhuzamosok posztulátumának problémája. Eukleidész, a híres görög matematikus Kr. e. 300 körül írta Elemek című művét. Ez az első olyan mű, mely a matematikai ismereteket rendszerezetten adja elő, bizonyos állításokat elfogadva, másokat deduktív módon bizonyítva. Az elfogadott állításoknak két csoportját különbözteti meg: posztulátumok (követelmények) és axiómák (közönséges ismeretek). Több mint kétezer éven át eldöntetlen volt, hogy az V. posztulátum levezethető-e a többi posztulátumból és axiómából vagy sem. Általános volt a vélemény, hogy az előbbi lehetőség áll fenn, és a tudományos világ a bizonyítás elvégzésére várt.
Bolyai János már 1823-ban eljutott a nem-eukleidészi geometria kidolgozásáig, mint azt édesapjának Temesvárról keltezett levelében megírta. Eredményeit a Scientia Spatii (A tér tudománya) című művében összegezte, amely 1832-ben jelent meg Bolyai Farkas Tentamen című kötete függelékeként (Appendix). Bolyai János az Appendixben felépített egy olyan geometriát, mely független az V. posztulátumtól – ennek abszolút geometria a neve – és egy másikat, mely az V. posztulátum tagadására épül. A tagadás két lehetőséget rejt magában: adott egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton át egy párhuzamos egyenes sem húzható, illetve végtelen sok húzható. Bolyainál az utóbbi esetről van szó, és az erre épülő geometriát ma hiperbolikus geometriának nevezzük.
A korszak egyik legnagyobb felfedezése alkotójának életébe semmilyen változást nem hozott, sem anyagi, sem erkölcsi sikert. Neve ismeretlen maradt a tudományos világ számára.
1860 január 27-én halt meg. 1911-ben temették a külön sírban nyugvó Jánost apja mellé.
A Teleki-Bolyai Könyvtár mintegy 14. 000 oldalnyi Bolyai János-kéziratot őriz, ezek jelentős részét a Tan c. filozófiai munka teszi ki. Alkotója enciklopédikus műnek tervezte, amelynek a tudományokat és művészeteket tárgyaló fejezetei után, az Üdvtan című részből az egész emberiség megismerhetné az általános boldogsághoz vezető utat.
